Занятие 2.
Формализация рассуждений. Логический вывод.
Источники:
-
Логический подход к искусственному интеллекту // Пер. с франц. — М.: «Мир»,
1990. — 432 с.
-
Логика и компьютер // М.: Наука, 1990. — 240 с.
План доклада.
-
Булева логика. Логика предикатов.
-
Модальные логики.
-
Трехзначная семантика для модальных логик.Многозначные
и нечеткие логики. Семантика возможных миров.
-
Рассуждения. Логический вывод. Прямая и обратная дедукция.
Введение.
Логика — достаточно древняя наука. Она изучает вопрос о том, какие
методы рассуждений правильные, а какие — нет. Поэтому вполне логично :)
было использовать именно логику (математическую) как инструмент для представления
знаний и для получения новых знаний в системах ИИ.
Необходимо четко определить предметную область, с которой будет работать
система.
1. Булева логика. Предикаты.
Это классическая логика первого порядка, изучаемая, например, в курсе дискретной
математики на 1-м курсе мехмата.
Используются следующие типы объектов:
-
Константы — имена объектов из предметной области (людей, предметов, событий):
книга1, дом6.
-
Переменные — имена совокупностей (множеств) из предметной области: Человек,
Книга, Дом.
-
Предикаты и функции — свойства объектов и событий, отношения между объектами:
желтый(Стол), отец(сергей, петр), продажа(иван, петр, карандаш).
Логические операции: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация.
Можно ограничиться только бинарными предикатами:
-
Унарные преобразуются в бинарные следующим образом: P(x) заменяем на является(x,
P).
-
m-арные предикаты преобразуются в произведение бинарных: продажа(иван,
петр, карандаш) преобразуется в такое произведение (конъюнкцию):
продавец(продажа, иван) & покупатель(продажа, петр) & товар(продажа,
карандаш)
Пара (роль, значение) называется в теории слотом.
База знаний представляется в виде набора фактов и правил, позволяющих
из одних утверждений получать другие (логически следующие из уже имеющихся
в базе). Пример — БЗ для родственных отношений.
2. Модальные логики.
Булева логика недостаточно гибка. Она требует, чтобы каждое утверждение
было либо однозначно истинным, либо однозначно ложным. Реально же истинность
утверждений может устанавливаться с какими-то оговорками. Например — степень
допустимости («возможно»), субъективность знания («N знает, что …», «M
считает, что …»), время (некоторое утверждение могло быть истинным в прошлом,
и стать ложным в настоящем или будущем) и т.п. Для описания таких «обстоятельств»
разрабатываются модельные логики. В них вводятся модальные операторы, изменяющие
истинность утверждений, на которые они действуют. По форме это аналогично
навешиванию кванторов (всеобщности и существования) в булевой логике.
Рассмотрим вкратце некоторые модальные операторы.
Логика возможного (модальная): необходимость/возможность.
Оператор необходимости: «F необходимо» (обязательно выполняется во
всех возможных мирах).
Оператор возможности: «возможно, имеет место F» (в каком-то из возможных
миров).
Временные операторы.
Всегда (в будущем); всегда (в прошлом); иногда (в будущем); иногда
(в прошлом); до тех пор, пока.
Эпистемические операторы (логика знания).
K(i)A — «i знает, что А», BK(i)A — «i считает, что A».
3. Трехзначная семантика для модальных
логик.
В булевой логике все высказывания распадались на 2 класса — истинные высказывания
и ложные высказывания. А что в модальной логике (логике возможного)? Кроме
разделения на истинные и ложные добавляется еще разделение на «необходимо»
и «возможно (случайно)». В результате каждое высказывание можно охарактеризовать
одним из четырех свойств:
-
необходимое (необходимо истинное),
-
возможное (возможно истинное),
-
нейтральное (возможно ложное),
-
абсурдное (необходимо ложное).
Для этих свойств выполняется:
-
никакое высказывание не может быть одновременно необходимым и нейтральным
-
никакое высказывание не может быть одновременно возможным и абсурдным.
-
любое необходимое высказывание возможно
-
любое абсурдное высказывание не является необходимым.
Однако высказывание может быть одновременно возможным и нейтральным.
Такие высказывания назовем проблематичными. Получим 3 непересекающихся
типа высказываний: необходимые, проблематичные и абсурдные. Т.о. вместо
двух значений истинности в булевой логике (истина/ложь) получаем 3 значения
истинности. Приходим к трехзначной логике (0, 1 и 2).
Аналогично можно получить логику большей значности.
К этому же классу логик можно отнести нечеткие и вероятностные логики.
Семантика возможных миров.
Множество истинных высказываний можно разделить на случайно истинные (которые
могли бы быть и ложными) и необходимо истинные. Аналогично ложные можно
разделить на случайно ложные и необходимо ложные. Тогда получим 4-хзначную
логику:
|
|
|
не нейтральное
|
нейтральное
|
не нейтральное
|
|
|
|
4. Рассуждения. Логический вывод.
Прямая и обратная дедукция.
Рассуждение представляет собой заключение об истинности некоторого утверждения
на основании того, что истинные заданные утверждения.
Основное правило вывода modus ponens: A, A->B ==> B.
Процедура опровержения: для того чтобы из множества гипотез {H1, …,
HN} вывести A, можно показать, что из множества гипотез {H1, …, HN, ~A}
следует ложь.
Сайт создан в системе
uCoz